Étude de la consommation

D'après bac S, Antilles-Guyane, 2019.

Une association offre à ses adhérents des paniers de légumes. Chaque adhérent a le choix entre trois tailles de panier :

• un panier de petite taille ;
  
• un panier de taille moyenne ;
  
• un panier de grande taille.
  

Partie A

L’association envisage de proposer en outre des livraisons d’œufs frais. Pour savoir si ses adhérents sont intéressés, elle réalise un sondage. On interroge un adhérent au hasard. On considère les événements suivants :

• \(\text{A}\) : « l’adhérent choisit un panier de petite taille »
  
• \(\text{B}\) : « l’adhérent choisit un panier de taille moyenne »
  
• \(\text{C}\) : « l’adhérent choisit un panier de grande taille »
  
• \(\text{F}\) : « l’adhérent est intéressé par une livraison d’œufs frais »
  

On dispose de certaines données, qui sont résumées dans l’arbre ci-dessous.

1. Dans cette question, on ne cherchera pas à compléter l’arbre.
    a. Calculer la probabilité que l’adhérent choisisse un panier de petite taille et soit intéressé par une livraison d’œufs frais.
    b. Calculer \(P(\text{B} \cap \overline{\text{F}})\), puis interpréter ce résultat à l’aide d’une phrase.
    c. La livraison d’œufs frais ne sera mise en place que si la probabilité de l’événement \(\text{F}\) est supérieure à \(0{,}6\). Pourquoi peut-on affirmer que cette livraison sera mise en place ?
2. Dans cette question, on suppose que \(P(\text{F})= 0{,}675\).
    a. Démontrer que la probabilité conditionnelle de \(\text{F}\) sachant \(\text{C}\), notée \(P_\text{C} (\text{F})\), est égale à \(0{,}3\).
    b. L’adhérent interrogé est intéressé par la livraison d’œufs frais. Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un panier de grande taille ? Arrondir le résultat à \(10^{−2}\).

Partie B

Depuis plusieurs années, les associations distribuant des produits frais à leurs adhérents se développent dans tout le pays et connaissent un succès grandissant. Lors d’une émission de radio consacrée à ce sujet, un journaliste annonce que \(88~\%\) des adhérents de ces associations sont satisfaits. Un auditeur intervient dans l’émission pour contester le pourcentage avancé par le journaliste. À l’appui de son propos, l’auditeur déclare avoir réalisé un sondage auprès de \(120\) adhérents de ces associations et avoir constaté que, parmi eux, seuls \(100\) ont indiqué être satisfaits. La contestation de l’auditeur est-elle fondée ? Justifier.